Estatística Aplicada – Coordenadas Polares

Está desde há muito determinado que a Matemática faz parte do nosso quotidiano, com frequência de um modo pouco evidente para a maioria de nós, mas em certas ocasiões assumindo uma expressão bem visível, cujos exemplos abundam na Natureza e no meio que nos envolve. No fundo, trata-se apenas de aprendermos a olhar.

Coordenadas Polares – O que são?

Muito usadas no Ensino Superior, as Coordenadas Polares ainda são pouco conhecidas, principalmente no Ensino Médio, e menos ainda suas aplicações. Como o próprio nome já diz são um tipo de notação de coordenadas que se colocam num plano bidimensional, como um tipo especial de plano semelhante ao Cartesiano, só que utiliza outros parâmetros. Usando uma definição mais matemática, poder-se-ia dizer que é um plano de coordenadas (r, θ),sendo r = raio e θ = a um ângulo qualqueraplicadas sobre um plano, conhecido com pólo (origem) equivalente ao eixo x nas coordenadas cartesianas. Uma vez escolhido o raio que se quer, traça-se na direção do ângulo θ uma semi-reta (raio), assim:

Figura 1.a: Representação de coordenada polar no plano

Ora, para plotar uma determinada coordenada basta inserir seus valores nos respectivos eixos, isto é, seja a seguinte coordenada (1, π/3), no gráfico ela fica:

Figura 1.b: Par ordenado (1, π/3) em coordenadas polares 

OBS: É importante verificar em qual notação está se usando os valores para θ. Normalmente utiliza-se a notação em radianos, isto é, ao invés de dizer que um ângulo tem 60º, diz-se que ele tem π/3rad, que é o seu correspondente em radianos.

Esse intricado sistema foi desenvolvido por Isaac Newton para facilitar alguns cálculos matemáticos. Apesar de ainda não ser amplamente conhecido o sistema oferece uma nova abordagem sobre gráficos e funções apresentando contornos curiosos. Por exemplo, veja plotagem da função r = 1 + senθ

Figura 2: Crardióide

De modo análogo ao que ocorre nas coordenadas cartesianas, em que se atribuem valores à funções para se obter o gráfico, também o é em coordenadas polares. Observemos abaixo alguns valores

θ        r = 1 + senθ                        (r, θ)

0        r = 1 + sen0                         (1, 0)
π/6     r = 1 + senπ/6 => 1 + 1/2     (3/2, π/6)
π/4     r = 1 + senπ/4 => 1 + √2/2   (1 + √2/2, π/4)
π/3     r = 1 + senπ/3 => 1+√3/2     (1 + √3/2, π/3)
π/2     r = 1 + senπ/2 => 1 + 1        (2, π/2)

E assim sucessivamente. Uma vez encontrados os valores é só plotar, como no exemplo anterior e juntar os pontos. Foi dessa forma que nasceu a nossa bela Cardióide acima, nome esse dado por assemelhar-se a um coração.

Por exemlo podemos calcular uma rosa de ‘n’ pétalas. Seja r = 1 – 3cos(10θ), o resultado será uma rosa de 20 pétalas, veja:

Figura 3: Rosácea de 20 pétalas

Essa plotagem torna-se muito trabalhosa se feita na mão bruta [sic.], então é melhor usar programas que desempenhem funções matemáticas mais complicadas, como na imagem acima. Neste caso foi utilizado o programa Wimplot, mas há dezenas de outros que tem a mesma finalidade. Com o uso desses programas é possível inventar uma infinidade de gráficos de diversos tipos, fazer comparações, estudar sinais, derivadas, áreas, volumes, comprimentos entre outros cálculos.

Uma pergunta naturalmente surge: E se fosse em coordenadas cartesianas, como ficariam essas coordenadas? Para responder a essa pergunta é necessário irmos para o plano. Seja o plano abaixo:

Figura 4: Coordenada polar (r, θ)

Pela relação trigonométrica sabemos que:

senθ = x´M´/r (Equação I)

cosθ = ox´/r     (Equação II)

Onde

x´M´= y    

e

ox´= x, onde x e y é o par ordenado, (x, y).

Substituindo nas equações I e II, temos:

senθ = y/r => y = rsenθ

cosθ = x/r => x = rcosθ

Por Pitágoras fica:

r² = x² + y²

Que são as respectivas fórmulas para se transformar coordenadas polares em cartesinas e vice-versa.

Seja o par ordenado (1, π/3) da figura 2, podemos transformá-la em coordenadas polares aplicarndo as fórmulas descritas acima, assim:

y = 1sen(π/3)

y =  √3/2

e

x = 1cos(π/3)

x = 1/2

Então fica (1/2, √3/2)

No gráfico fica:

Figura 5: Gráfico Cartesiano

Por fim no Winplot podemos vislumbrar lindas figuras como a seguir:

Figura 6: Várias funções na construção dos gráficos

Certamente criações como estas revelam quão lindo e fascinante é o mundo da matemática. Além das coordenadas polares existem as coordenadas implícitas, explícitas e paramétricas no plano bidimensional (x, y) adicionadas às esféricas e cilíndricas no tridimensional (x, y, z).


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